Гениальная и простая вещь: как решаются кубические уравнения

Некоторые идеи в физике-математике удивляют тем, что непонятно, как до этого можно было додуматься. Вот, например, решение кубических уравнений. Кубическое уравнение выглядит так:


a x3 + b x2 + c x + d = 0.          (1)


Довольно легко сообразить, что можно избавиться от слагаемого b x2. (Для этого нужно сделать замену переменной xx + p, подобрав подходящее число p.) Так что достаточно научиться решать уравнение без этого слагаемого:


a x3 + c x + d = 0.         (2)


Ну и что же с ним делать дальше? Вот тут-то и появляется
гениальная идея: будем искать неизвестную величину x в виде


x = α + β.


Давайте подставим (α + β) вместо x в уравнение (2) и раскроем все скобки. Получится вот что:


a α3 + 3 a α2 β + 3 a α β2 + a β3 + c α + c β + d = 0.         (3)


Здесь я раскрасил некоторые слагаемые так, что каждое синее слагаемое отличается от соседнего красного тем, что одно α заменяется на β. Поэтому можно объединить эти раскрашенные слагаемые, вынеся за скобки (α + β):


(α + β) (3 a α β + c) + a α3 + a β3 + d = 0.         (4)


Теперь вспомним, что у нас имеется только одно уравнение, а неизвестных — два: α и β. Значит, можно добавить ещё одно уравнение, то есть наложить на эти неизвестные величины какое-нибудь условие. Логично выбрать такое условие, чтобы уравнение (4) стало как можно проще. Например, чтобы вторая скобка в этом уравнении занулилась:


(3 a α β + c) = 0.         (5)


Тогда от уравнения (4) останется только маленький "огрызок":


a α3 + a β3 + d = 0.         (6)


Ну, собственно, вот и всё. Потому что равенства (5) и (6) образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными α и β, и эта система легко решается. Например, можно выразить β из (5) и подставить в (6). Тогда мы получим:


27 a3 α6 + 27 a2 d α3 - c3 = 0.


Это — квадратное уравнение для α3. Решив его и взяв кубический корень, получим α. Потом из (5) найдём β. И наконец, сложив α и β, получим x. Так и решаются кубические уравнения.

Узнал я об этом из лекции Алексея Савватеева по теории Галуа.

Но как можно было догадаться до этого: x = α + β? Немудрено, что на это ушло две тысячи лет: квадратные уравнения умели решать ещё до нашей эры, а кубические - научились решать итальянцы в 16-м веке.

Странное свойство квантового мира: нарушение неравенства Белла

Мы живём в квантовом мире. (Потому что всё вокруг нас состоит из электронов, протонов и прочих микрочастиц.) То есть наш мир существует по законам квантовой механики. Это - очень странные законы, местами противоречащие здравому смыслу. Вот об одном таком противоречии и пойдёт здесь рассказ.

В мире, устроенном в соответствии со здравым смыслом, выполняется неравенство Белла.

В реальном мире неравенство Белла может нарушаться.

Это - удивительное свойство нашего мира (о котором мало кто знает, даже среди выпускников физфака, которые квантовую механику проходили и сдавали).

Итак, что такое неравенство Белла?

Наука о передаче информации состоит из историй, в которых участвуют два персонажа: Алиса и Боб. По-русски, наверное, правильнее будет назвать их - лиса Алиса и кот Базилио. И вот в нашей истории они идут в казино, где им предлагают сыграть в такую игру. Их помещают в разные комнаты, между которыми нет сообщения, и в каждой из комнат раскручивается рулетка, представляющая собой палку о двух концах:

fig1.png

Рулетка Алисы может остановиться либо в вертикальном положении, либо в горизонтальном, с одинаковой вероятностью:Collapse )

Почему E равно mc2 (часть 1-я)

Сижу простывший дома, и чего только в больную голову не придёт... Поделюсь, пожалуй:-)

Однако, сочинение это - для тех, кто:
* знает правило сложения скоростей в теории относительности,
* знает производные и интегралы,
* и при этом никуда не торопится!
Потому что дальше будет длинная история в трёх частях, которая ведёт к тому, что и так все знают, - к формуле E=mc2.

А дело в том, что человек, желающий разобраться в (специальной) теории относительности, примерно на середине пути натыкается на некий барьер - как раз на границе между кинематикой и механикой. И я попытаюсь сейчас этот барьер сгладить.

Как устроено стандартное изложение теории относительности в учебниках? Берут два простых и понятных ингредиента - принцип относительности и постоянство скорости света - соединяют их вместе и начинают плавно помешивать:-) В результате по очереди выплывают разные следствия: одновременность событий оказывается зависящей от наблюдателя, ход движущихся часов замедляется, размеры движущихся предметов сокращаются. Потом появляются преобразования Лоренца, закон сложения скоростей, эффект Доплера, невозможность разогнаться быстрее света и так далее. Всё это хорошо и более-менее понятно, и называется релятивистской кинематикой.

А потом плавный ход мысли вдруг подпрыгивает на кочке! Оказывается, что для дальнейшего продвижения недостаточно упомянутых ингредиентов. И тут в ход идут разные "эзотерические" знания. Например, сам Эйнштейн использовал правила преобразования электрического и магнитного полей. Ландау с Лифшицем опираются на принцип наименьшего действия.

А нельзя ли всё же двинуться дальше, не привлекая каких-то посторонних знаний? и понять, например, происхождение (и смысл!) формулы E=mc2, опираясь только на два основополагающих принципа (принцип относительности и постоянство скорости света)?

Ну понятно, что совсем без ничего нового не обойтись. Ведь E=mc2 - это про энергию, значит нужно что-то про энергию знать. Нам понадобится закон сохранения энергии и то, что в обычной механике (т.е. при малых скоростях) кинетическая энергия равна mv2/2. А заодно и аналогичные знания про импульс: закон его сохранения и то, что при малых скоростях импульс равен mv. (Зарезать импульс бритвой Оккама не получится - ведь энергия и импульс всегда ходят парой:-)

План действий будет такой:
1. Получим формулу для импульса p=gamma m v.
2. Получим формулу для кинетической энергии 01_p_gmv.
3. И наконец, используя п. 1 и 2, найдём, что энергия покоя равна 03_mc2.

(Буква 04_gamma здесь обозначает 05_gamma_def, как это принято в теории относительности. Жирным шрифтом помечены векторные величины.)

Сегодня мы разберёмся с импульсом. Collapse )

(Продолжение следует...)

Магнитные шарики

По случаю простуды, сижу дома и играюсь с магнитными шариками.
Вот, собрал корзинку:
DSC03293s  DSC03284s 

DSC03296s  DSC03299s 

Теперь бы надо разломать, чтоб что-нибудь другое сделать:-)  А жалко

Про соотношение неопределённостей

Бывают непонятки - что это за неопредедённости такие в квантовой механике? А вот вам пример. Сколько градусов, по-вашему, показывает сей инструмент? :-)

DSC03196s

Шутки шутками, а всё же и в окружающем нас быту бывает, что некоторая величина имеет целый набор значений одновременно. Ближайший пример - высота (частота) звука. Когда человек слышит что-нибудь (музыку например, или хотя бы шум дождя), то его ухо регистрирует одновременно целый набор тонов. Выражаясь более абстрактно-математически, это значит, что имеется распределение значений измеряемой величины (звукового тона). Распределение можно грубо охарактеризовать средним значением величины и разбросом значений (который и есть неопределённость). Ухо воспринимает всё это распределение целиком.

А в квантовой механике не так! Если бы ухо было квантово-механическим измерительным инструментом, то мы бы услышали лишь один, случайно выбранный, тон звука. А все остальные тона в тот же момент прекратились бы! То есть до измерения мы имели некий сложный звук, а после измерения из этого звука остался только один чистый тон.

Такая вот она - квантовая механика. Понять её невозможно.

Теорема Пифагора - у нас под ногами

Вот такая плитка выложена у нас в Академгородке, перед зданием президиума:

pifagor1

И если присмотреться, то в ней можно найти самое простое доказательство теоремы Пифагора!
Collapse )
Так что если бы Пифагор жил у нас в Н-ске и ходил на работу мимо здания президиума, он смог бы открыть свою теорему просто глядя под ноги :-)

Картинки для статьи

Вот, недавно сочинял статью (не столь важно о чём, некие расчёты в теории упругости), 
нарисовал для неё такие картинки. Красиво?
(можно бы и цветные, но статья в журнал чёрно-белый)

elastic1


Collapse )

Пробуем вставлять формулы в жж

Попробую попользоваться сайтом, где можно набирать формулы, и на выходе получить картинки или куски кода для вставки в html. (Попал туда по этой наводке, см. также здесь.)

Сначала вставим картинками (первые три - png, четвёртая - gif): v_V,  p_gmv,  E_hw,  CodeCogsEqn.

-------------------------------------

Потом - ссылками на картинки, создаваемые на лету (все gif):
,
,
.

Посмотрим, что получится.

To begin with...

К моему удивлению, в Интернете нет этого стихотворения Н.Гумилёва. Так что придётся его выложить:

* * *

Желтое поле,
Солнечный полдень,
Старая липа.
Маленький мальчик
Тихо читает
Хорошую книгу.

Минут годы,
Маленький мальчик
Станет взрослым
И позабудет
Июльский полдень,
Желтое поле.
Лишь умирая,
Уже холодный,
Вдруг припомнит
Былое счастье,
Яркое солнце,
Старую липу,
Хорошую книгу,
А будет поздно.